Изображения на чертеже выполняют по правилам проецирования. Проецированием называется процесс получения изображения предмета на плоскости - бумаге, экране, классной доске и т. д. Получившееся при этом изображение называют проекцией .

«Проекция » — слово латинское. В переводе на русский язык оно означает «бросать (отбрасывать) вперед ».

В основе правил построения изображений на чертеже лежит метод проекций. Метод проекций - отображение геометрической фигуры на плоскость путем проецирования ее (фигуры) точек.

Чтобы построить изображение предмета по методу проекций, необходимо через точки на предмете (например, через его вершины) провести воображаемые лучи до встречи их с плоскостью. Лучи, которые проецируют предмет на плоскость, называются проецирующими .

Плоскость, на которой получается изображение предмета, называется плоскостью проекции .

Рис. 1. Понятия проецирования.

Способы изображения предметов отличаются друг от друга, как методами проецирования, так и условиями их построения. Одни способы дают более наглядное изображение, нетрудны для построения, другие менее наглядны, но зато более просты для построения.

Чтобы выяснить, что представляет собой метод проекций, обратимся к примерам.

Поместим перед электрической лампочкой какой-нибудь предмет. Тень, полученную на стене, можно принять за проекцию предмета. Положите на бумагу какой-нибудь плоский предмет и обведите его карандашом. Вы получите изображение, соответствующее проекции этого предмета.

Посмотрим процесс получения проекций геометрических фигур, из которых состоят дорожные знаки (рис. 2, 5, 8). Для построения изображений этих геометрических фигур использован метод проекций.

На рисунке 2,б проекцией точки А будет точка а , т.е. точка пересечения проецирующего луча Оа с плоскостью проекций. Проекцией точки В будет точка b и т. д. Если теперь соединить на плоскости эти точки прямыми линиями, то мы получим проекцию изображаемой фигуры, например треугольника.

Рис. 2 . Центральное проецирование

На изображениях точки в натуре, т е точки на предмете , будем обозначать большими (прописными ) буквами латинского алфавита. Проекции этих точек на плоскость обозначают теми же, но малыми (строчными ) буквами.

Рассмотренный пример построения изображений составляют сущность метода проекций .

Если проецирующие лучи, с помощью которых строится изображение предмета, расходятся из одной точки, проецирование называется центральным (рис. 2). Точка, из которой выходят лучи (О ), называется центром проецирования . Полученное при этом изображение предмета называется центральной проекцией .

Рис. 3. Центральное проецирование на плоскости.

Величина проекции зависит от положения предмета по отношению к картинной плоскости, а также от расстояния его до этой плоскости и до центра проецирования. На рис. 3, а предмет расположен между центром О и картинной плоскостью К и поэтому его изображение получается увеличенным. Если предмет расположить за плоскостью К (рис. 3, б), то изображение получится уменьшенным.

Центральные проекции часто называют перспективой . Взаимно параллельные линии предмета, не параллельные картинной плоскости, проецируются как группа линий, сходящихся в одной точке (рис. 4).

Рис. 4. Перспектива

Проекции каждой группы параллельных линий имеют свою точку схода О1 и О2 . Точки схода проекций всех групп параллельных линий расположены на одной прямой, называемой линией горизонта. Предмет, изображенный на рис. 4, расположенпо отношению к картинной плоскости так, что ни одна из его граней не параллельна этой плоскости. Такую центральную проекцию называют угловой перспективой .

Изображение, полученное методом центрального проецирования, сходно с фотографией, так как оно получается примерно таким, каким его видит глаз человека. Также примерами центральной проекции являются кинокадры, тени, отброшенные от предмета лучами электрической лампочки, и др. Метод центрального проецирования используется в архитектуре, строительстве, а также в академическом рисовании - рисовании с натуры.

Если проецирующие лучи параллельны друг другу, то проецирование называется параллельным , а полученное изображение - параллельной проекцией . Примером параллельной проекции являются солнечные тени (рис. 5, 8).

Рис.5. Параллельное проецирование

При параллельном проецировании все лучи падают на плоскость проекций под одним и тем же углом.

Если это любой угол, отличный от прямого, то проецирование называется косоугольным (рис. 6). В косоугольной проекции, как и в центральной, форма и величина предмета искажаются. Однако строить предмет в параллельной косоугольной проекции проще, чем в центральной.

Рис.6. Параллельное косоугольное проецирование на плоскости.

В техническом черчении такие проекции используют для построения наглядных изображений (рис.7).

Рис. 7. Процесс поучения наглядного изображения.

В том случае, когда проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проекций (рис. 8), т. ё. составляют с ней угол в 90°. проецирование называют прямоугольным . Полученное при этом изображение называется прямоугольной проекцией предмета .

Рис.8.Параллельное прямоугольное проецирование.

Проекционное черчение имеет большое значение для развития пространственного представления, без которого невозможно сознательно читать чертежи и тем более выполнять их (рис 9).

Прямоугольные проекции называют также ортогональными . Слово "ортогональный " происходит от греческих слов "orthos " - прямой и "gonia " - угол.

Рис.9. Параллельное прямоугольное проецирование на плоскости

Способ прямоугольного проецирования является основным в черчении. Он используется для построения изображений на чертежах и наглядных изображений предметов, так как они достаточно наглядны и выполнять их проще, чем центральные.

Чертежи в системе прямоугольных проекций дают достаточно полные сведения о форме и размерах предмета, так как предмет изображается с нескольких сторон.

Проецирование - это процесс получения проекций предмета на какой-либо поверхности (плоской, цилиндрической, сферической, конической) с помощью проецирующих лучей.

Методом проецирования
называется способ получения изображений с помощью определенной, присущей только ему совокупности средств проецирования (центра проецирования, направления проецирования, проецирующих лучей, плоскостей (поверхностей) проекций), которые определяют результат - соответствующие проекционные изображения и их свойства.
Для того чтобы получить любое изображение предмета на плоскости, необходимо расположить его перед плоскостью проекций и из центра проецирования провести воображаемые проецирующие лучи, пронизывающие каждую точку поверхности предмета. Пересечение этих лучей с плоскостью проекций дает множество точек, совокупность которых создает изображение предмета, называемое его проекцией. Это общее определение рассмотрим на примере проецирования точки, прямой, треугольника и треугольной призмы на плоскость проекций H.

Проецирование точки (рис. а).
Возьмем в пространстве произвольную точку А и расположим ее над плоскостью проек­ций H. Проведем через точку А проецирующий луч так, чтобы он пересек плоскость H в некоторой точке а, которая будет являться проекцией точки А. (Здесь и в дальнейшем будем обозначать точки, взятые на предмете, прописными буквами чертежного шрифта, а их проекции - строчными.) Как видим, методом проецирования можно получить проекцию нульмерного объекта- точки.

Проецирование прямой (рис. б).
Представим себе прямую как совокупность точек. Используя метод проецирования, проведем множество параллельных проецирующих лучей через точки, из которых состоит прямая, до пересечения их с плоскостью проекций. Полученные проекции точек составят проекцию заданной прямой - одномерного объекта.


Проецирование треугольника (рис. в).
Расположим треугольник ABC перед плоскостью H. Приняв вершины треуголь­ника за отдельные точки А, В, С, спроецируем каждую из них на плоскость проекций. Получим проекции вершин треугольника - a, b, с. Последовательно соединив проекции вершин (а и b; b и с; с и а), получим проекции сторон треугольника (ab, bc, ca). Часть плоскости, ограниченная изображением сторон треугольника abc, будет являться проекцией треугольника ABC на плоскости H Следовательно, методом проецирования можно получить проекцию плоской фигуры - двухмерного объекта.

3.


Проецирование призмы (рис. г).
Для примера возьмем наклонную треугольную призму и спроецируем ее на плоскость проекций H. В результате проецирования призмы на плоскость H получают изображения (проекции) ее оснований - треугольников - abc и a1b1c1 и боковых граней - прямоугольников abb1a1 и bcc1b1. Так в результате проецирования на плоскости H получают проекцию треугольной призмы. Следовательно, с помощью метода проецирования можно отобразить любой трехмерный объект

4.

Таким образом, методом проецирования можно отобразить на плоскости любой объект (нуль-, одно-, двух- и трехмерный). В этом отношении метод проецирования является универсальным.Сущность проецирования легче понять, если вспомнить получение изображения в кинотеатре: световой поток лампы кинопроектора проходит через пленку и отбрасывает изображение на полотно. При этом изображение на киноэкране будет в несколько раз больше изображения на кинопленке.
Центральное проецирование (перспектива) характеризуется тем, что проецирующие лучи исходят из одной точки (S), называемой центром проецирования. Полученное изображение называется центральной проекцией.

Перспектива передает внешнюю форму предмета так, как воспринимает его наше зрение.

При центральном проецировании, если предмет находится между центром проецирования и плоскостью проекций, размеры проекции будут больше оригинала; если предмет расположен за плоскостью проекций, то размеры проекции станут меньше действительных размеров изображаемого предмета.

Параллельное проецирование характеризуется тем, что проецирующие лучи параллельны между собой. В этом случае предполагается, что центр проецирования (S) удален в бесконечность.
Изображения, полученные в результате параллельного проецирования, называются параллельными проекциями.

Если проецирующие лучи параллельны между собой и падают на плоскость проекций под прямым углом, то проецирование называется прямоугольным (ортогональным), а полученные проекции - прямоугольными (ортогональными).
Если проецирующие лучи параллельны между собой, но падают на плоскость Проекций под углом, отличным от прямого, то проецирование называется косоугольным, а полученная проекция - косоугольной. При проецировании объект располагают перед плоскостью проекций таким образом, чтобы на ней получилось изображение, несущее наибольшую информацию о форме.
Существует центральное (или перспективное) и параллельное проецирование. Параллельное проецирование бывает прямоугольным (ортогональным) или косоугольным

5.

Wrote in March 4th, 2015

В этом посте я расскажу о принципах создания 3d-рисунков на асфальте и не только на нем. Под словом асфальт подразумевается горизонтальная плоскость по которой мы ходим каждый день, это может быть и бетон и деревянная основа, стекло и даже песок, да-да сейчас есть и такое- 3d рисунок на песке . Так уж повелось, что у нас его стали называть "на асфальте", видимо потому, что в детстве мы говорили: "Рисунок мелом на асфальте", хотя зачастую рисовали их больше на бетоне, возможно что слово бетон не звучит. За рубежом в буквальном переводе- 3d уличная живопись на англ. 3d street painting .

Многие из вас, кто сейчас читает эту статью уже знакомы с таким видом уличного искусства по фотографиям, которые находили в интернете или даже может кто из вас видел 3d-рисунки вживую, а может даже и пытался создать собственноручно и наверняка большинство задавалось вопросом, а как же уличные художники добиваются 3d-эффекта ?
Уверен, что часть из вас уже сейчас воскликнула: "Тю, да что тут секретного!?...Это же элементарная проекция изображения на плоскость !" И будут правы. Я бы уточнил, что это проекция + перспектива, хотя конечно же понятие проекции не может быть разделено от перспективы , это взаимодействующие понятия.

Так с чего же начинается работа над 3d-рисунком ? А работа начинается как и у всех художников, с определения сюжета и разработки эскиза, который зависит от размеров площадки на котором будет выполняться рисунок . Вы спросите каким образом сюжет зависит от размеров площадки?

Для этого нужно понимать, что рисунок на асфальте это проекция на плоскость, которая находится к нам под углом и имеет свое перспективное сокращение и если вы решили изобразить объект, который больше человеческого роста, предположим взрослого медведя нападающего на человека, которым будет являться фотографируемый, то такой рисунок у нас растянется на многие метры, это при условии, что высота в точке осмотра, с которой человек смотрит на рисунок, равна среднему росту человека. Поэтому иногда художники могут используют комбинацию из плоскости под ногами и стенкой, а то и двумя стенками при которой задействуються три и четыре плоскости (пол, потолок и две стенки)- угловая часть комнаты.

На этом изображении вы можете видеть как изменяются размеры изображения во время проецирования на плоскость лучом зрения. И чем острее будет угол луча зрения к плоскости асфальта, тем более вытянутым у нас будет рисунок.
Да знали это все и без тебя, давай дальше!

После того как вы определились с эскизом, вам нужно его перенести на плоскость в нашем случае асфальт. Как же это сделать?
Часть из вас уже воскликнула, да с помощью проектора! Да, отвечу я, можно и с помощью проектора, но есть одно маленькое условие, рисунок вам нужно выполнить в течении одного светового дня, как это может происходить предположим на фестивале , при котором процесс использования проектора становиться невозможным- проецируемое изображение попросту не видно при ярком свете. Итак как!?...

Для этого буду по чуть-чуть вводить вас в курс предмета перспектива и способом построения геометрических предметов в пространстве- метод архитектора . Почему геометрических? Потому что для начала нам нужно будет построить сетку в пространстве. Этот метод знаком в большей степени художникам и архитекторам соответствующих учебных заведений, хотя кто-то сталкивался с основами в предмете черчение.

Из точки осмотра 3d рисунок должен выглядеть точно так, как у вас на эскизе.

В то же время на асфальте рисунок яблока будет выглядеть следующим образом (вид сверху). Видно как деформируется рисунок на плоскости, поэтому на 3d-рисунок или как его еще могут называть анаморфный рисунок, не путать с аморфным!:) нужно смотреть только с одной точки.
На схеме показано поле зрения у человека это прбл. 120° .

Точка осмотра для зрителя обозначается таким знаком (который использую я) или любым дуругим, дающий понять человеку, что находиться и снимать нужно именно здесь и именно в этом направлении. Так что искать для качественной фотографии нужно именно такой знак.

Пару фоток для понимания насколько рисунок меняется в размерах.
На этом фото через объектив камеры с назначенной точки осмотра.

А вот как рисунок трансформируется (вид с обратной стороны)
Нарисованный канализационный люк, который выглядит с точки осмотра (там где стоит штатив) круглым лежащим блином, ширина которого больше длины почти в два раза, на самом деле имеет форму вытянутого в длину овала, который имеет противоположные величины- длина больше чем ширина.

Пример использования двух плоскостей для 3d-рисунка

Как выглядит деформация такого рисунк а с другой точки просмотра.

Для начала нужно задать размер прямоугольной площадки, которая будет захватывать ваш рисунок на асфальте и определить перспективный масштаб , а именно масштаб длины и ширины . Для этого на листе бумаги нужно наметить горизонт и провести линию H , параллельную горизонту, эта линия является краем картинной плоскости на нашем чертеже до которой мы еще дойдем, на асфальте же эта линия является краем прямоугольной сетки, которая будет разбита на квадраты размером 50x50 см.

Размер этот задается художником произвольно, в зависимости от сложности изображения, по принципу чем больше деталей, тем меньше квадраты- для более точного определения положения линий в рисунке.
Все мы помним про то, что горизонт проходит на уровне глаз человека, при условии если луч зрения человека смотрящего на эту фигуру находиться на одной высоте, т.е грубо говоря если эти фигуры одинакового роста. И разумеется если кто-то выше или ниже, линия горизонта у нас меняеться.

Таким образом зная рост человека (возьмем средний рост 170 см) мы можем задать метраж на картинной плоскости, т.е на линии H .
Далее проводим осевую линию, которая находится под углом 90 ° к краю картинной плоскости, в даном случае к линии H.

Для удобства я разбиваю метровые отрезки по полам и соединяю с точкой P на горизонте, получив таким образом точку схода P и масштаб длины отрезков, которые у нас равны 50 см.

Теперь основное, нам нужно определить масштаб ширины или можно еще сказать масштаб глубины отрезка длинной 50см. Проще говоря нам нужно определить насколько визуально у нас будет сокращаться сетка в перспективе, положенная на асфальт. Рекомендую изначально запастись форматом бумаги для чертежа побольше.

Задаем расстояние до основной точки осмотра (с которой публика будет фотографировать 3d рисунок ) т.е до края вашего рисунка (вернее сказать до края вашей будущей сетки на асфальте) Я задаю 2 метра, художник произвольно задает дистанцию, которая ему необходима, но не думаю что ее имеет смысл делать меньше 1.5 метра.
На осевой линии нашего чертежа, от края картинной плоскости, чем является линия H , откладываем расстояние 2 метра в итоге получая отрезок C N. Сама эта точка N для дальнейшего построения чертежа не играет роль.

Далее нам нужно получить дистанционную точку D1 на горизонте, из которой луч будет пересекать картинную плоскость под углом в 45° , в точке C, это поможет нам определить вершину квадрата. Для этого задаем расстояние в два раза больше высоты фигуры человека, поскольку фигура является объектом от которого мы и ведем измерение. Почему в 2 раза от картинной плоскости? Причина в устройстве человеческого глаза, угол захвата по ширине у нас больше чем по высоте. Для более-менее нормального, не искаженного восприятия, нам нужно находиться на растоянии от объекта в два раза превышающего его высоту)

Таким образом получаем точку Q (на площадке она нам не понадобиться). От основной точки схода P отложим (можно с помощью циркуля) отрезок равный PQ на линии горизонта, таким образом получив точку D1 и D2 , чаще всего она у вас будет выходить за лист бумаги, поэтому отрезок PQ делится на 2 для получения точки D½ и на четыре для точки D¼ . Проведя луч через точки D1 ,C мы получаем прямую, которая пресекает плоскость картины под углом в 45° в перспективе.

Полученная точка B1 отрезка BP является вершиной квадрата, отрезок B,B1 -стороной длинною 50см в перспективе.

Как я говорил выше, дистанционная точка D1 выходитза лист бумаги, для удобства отрезок D1,P делится на четыре части и получаем точку D¼
Используя дистанционную точку D¼ учитывайте, что в данном случае лучи пересекают сторону квадрата B1,C1 под другим уже углом (это в прбл. 75 ° ) к картинной плоскости. И для нахождения точки пересечения, отрезок BC делится на четыре равные части как и любой другой отрезок на линии картинной плоскости, из точки пересечения проводиться прямая в точку схода P , из D¼ в С- точка перечечения и будет определять сторону B1,C1 как это и делает луч проведенный из D1 в С.

Таким хитрым способом на пересечениях лучей из дистанционной точки с лучами сокращений AP , BP , CP , DP, EP мы получаем сетку размером 2 на 2 метра в перспективном сокращении с размером квадратных секций 50х50 см. Вуаля!

Высота фигуры человека на картинке и высота смотрящего, находящегося в точке осмотра -170 см., расстояние до точки осмотра-2 метра.
Как вы можете видеть на фото ниже, поместив наш эскиз яблока на полученую сетку, 3d-рисунок с точки осмотра на площадке должен выглядеть точно так же, как и на эскизе, т.е без искажений и деформаций.

Теперь нам нужно начертить сетку без искажений, это наш проекционный эскиз, с которым мы и будем работать на площадке и переносить изображение на асфальт.
Строится наша сетка на крае картинной плоскости, которым является у нас прямая H , сетка будет параллельна картинной плоскости и перпендикулярна плоскости основания, т.е "асфальту". Размер квадратов сетки все тот же-50 см, на чертеже конечно же он у вас в выбранном вами масштабе.

Далее следите за руками... Нумеруем для удобства квадраты. Проводим луч, я назвал его "луч проекции" , из точки осмотра N, в точку любого пересечения нашего рисунка с сеткой, которая лежит у нас в перспективе, я выбрал край листика яблока- он находится на линии нашей сетки в перспективе (основание квадрата С2 ). Пересекая нашу обычную сетку, которая параллельна нам, луч проекции отбивает точку, которая и является краем нашего листика яблока.

Таким хитрым способом мы находим все точки пересечения на нашей сетке. Точки которые попадают на осевую линию, находятся методом пропорционального расчета.
Для достижения более точного результата построения деталей и линий 3d-рисунка, сетка задается меньшим шагом клетки.
Соединяем все точки плавной линией, как это было в детском садике когда-то...
3d-рисунок в проекционном эскизе готов!
Как видно из полученного результата эскиз у нас получился деформированным. Теперь осталось его перенести на асфальт в натуре, где вы уже расчертили сетку сидите и ждете.

По такому же принципу изображение выстраивается на стенах и потолках. Тут и сказочки конец.
И не забывайте, что 3d-рисунок это в первую очередь рисунок, который требует навыков рисования,владения цветом и композиции, в противном случае работа может получиться не эффектной.

Несмотря на то, что 3d рисунок называется рисунком, он может быть выполнен и краской, где по логике вещей его правильнее было бы называть 3d-живописью на асфальте , но так случилось, что называть у нас его стали рисунком, напомню за рубежом чаще всего называют 3d уличная живопись- 3d street painting, хотя иногда можно встретить термин 3d drawings как у нас.

Взят у maksiov в Секрет создания 3D рисунка. Часть1 и Секрет создания 3D рисунка Часть2

Если у вас есть производство или сервис, о котором вы хотите рассказать нашим читателям, пишите на [email protected] Лера Волкова ([email protected] ) и Саша Кукса ([email protected] ) и мы сделаем самый лучший репортаж, который увидят не только читатели сообщества, но и сайта http://bigpicture.ru/ .

Подписывайтесь также на наши группы в фейсбуке, вконтакте, одноклассниках и в гугл+плюс , где будут выкладываться самое интересное из сообщества, плюс материалы, которых нет здесь и видео о том, как устроены вещи в нашем мире.

Жми на иконку и подписывайся!

Лекция: ПРОЕКЦИОННОЕ ЧЕРЧЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ВИДЫ ЧЕРТЕЖА

ЭЛЕМЕНТЫ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

РАЗМЕРЫ ПРОСТАВЛЯЕМЫЕ НА ЧЕРТЕЖЕ ДЕТАЛИ

1.ПРОЕКЦИОННОЕ ЧЕРЧЕНИЕ 2

2.СПОСОБЫ ПОЛУЧЕНИЯ ГРАФИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ 2

3.ЦЕНТРАЛЬНОЕ И ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ 3

4.ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ И ОСНОВНЫЕ ВИДЫ ЧЕРТЕЖА 6

5.ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ 10

6.ПРОЕКЦИИ ПРЯМОЙ 17

7.СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПЛОСКОСТИ НА ЭПЮРЕ 24

8.ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ, ТОЧКИ И ПЛОСКОСТИ 29

9.ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ И ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ 33

10.РАЗРЕЗЫ, СЕЧЕНИЯ И ВИДЫ 40

11.РАЗМЕРЫ, ПРОСТАВЛЯЕМЫЕ НА ЧЕРТЕЖЕ ДЕТАЛИ 43

1. Проекционное черчение

Начертательная геометрия изучает способы построения изображений пространственных фигур на плоскости и решения пространственных задач на чертеже.

Проекционное черчение рассматривает практические вопросы построения чертежей и решает задачи способами, рассмотренными в начертательной геометрии, сначала на чертежах геометрических тел, а затем на чертежах моделей и технических деталей.

1. Способы получения графических изображений

Форму любого предмета можно рассматривать как сочетание отдельных простейших геометрических тел. А для изображения геометрических тел нужно уметь изображать их отдельные элементы: вершины (точки), ребра (прямые), грани (плоскости).

В основе построения изображений лежит способ проецирования. Получить изображение какого-либо предмета - значит спроецировать его на плоскость чертежа, т.е. спроецировать отдельные его элементы. Поскольку простейшим элементом любой фигуры является точка, изучение проецирования начинают с проецирования точки.

Для получения изображения точки А на плоскости Р (рис. 4.1) через точку А проводят проецирующий луч Аа. Точка пересечения проецирующего луча с плоскостью Р будет изображением точки А на плоскости Р (точка а), т. е. ее проекцией на плоскость Р.

Такой процесс получения изображения (проекции) называют проецированием. Плоскость Р является плоскостью проекций. На ней получают изображение (проекцию) предмета, в данном случае точки.

Принцип проецирования легко понять на примере получения тени предмета на стене или листе бумаги. На рис. 4.1 изображена тень карандаша, освещенного лампой, а на рис. 4.2 - тень карандаша, освещенного солнечным светом. Если представить световые лучи прямыми линиями, то есть проецирующими лучами, а тень - проекцией (изображением) предмета на плоскости, то легко представить себе механизм проецирования.

В зависимости от взаимного расположения проецирующих лучей проецирование делят на центральное и параллельное.

1. Центральное и параллельное проецирование

Центральное проецирование - получение проекций с помощью проецирующих лучей, проходящих через точку S, которую называют центром проецирования (рис. 4.3). Если считать лампу точечным источником освещения, то проецирующие лучи выходят из одной точки, следовательно, на плоскости Р получена центральная проекция карандаша (рис. 4.1).

Примером центрального проецирования является проецирование кадров кинофильма или слайдов на экран, где кадр - объект проецирования, изображение на экране - проекция кадра, а фокус объектива - центр проецирования.

Изображения, получаемые способом центрального проецирования, подобны изображениям на сетчатке нашего глаза. Они наглядны, понятны для нас, так как показывают нам предметы окружающей действительности такими, какими мы их привыкли видеть. Но искажение размеров предметов и сложность построения изображений при центральном проецировании не позволяют использовать его для изготовления чертежей.

Центральные проекции широко применяют лишь там, где нужна наглядность в изображениях, например, в архитектурно-строительных чертежах при изображении перспектив зданий, улиц, площадей и т. п.

Параллельное проецирование . Если центр проецирования - точку S удалить в бесконечность, то проецирующие лучи станут параллельными друг другу. На рис. 4.4 показано получение параллельных проекций точек А и В на плоскости Р.

В зависимости от направления проецирующих лучей по отношению к плоскости проекций параллельные проекции делятся на косоугольные и прямоугольные .

При косоугольном проецировании угол наклона проецирующих лучей к плоскости проекций не равен 90 о (рис. 4.5).

При прямоугольном проецировании проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций (рис. 4.6).

Рассмотренные выше способы проецирования не устанавливают взаимно однозначного соответствия между объектом (точка А) и его изображением (проекцией). При заданном направлении проецирующих лучей на плоскости проекций всегда получается лишь одна проекция точки, но судить о положении точки в пространстве по одной ее проекции невозможно, так как на одном и том же проецирующем луче Аа (рис. 4.7) точка может занимать различные положения, находясь выше или ниже заданной точки А, и какое положение точки в пространстве соответствует изображению (проекции) а, определить невозможно.

Рис. 4.4. Рис. 4.5. Рис. 4.6.

Для того чтобы по изображению точки можно было определить ее положение в пространстве, необходимо как минимум иметь две проекции этой точки. При этом должно быть известно взаимное расположение плоскостей проекций и направление проецирования. Тогда, имея два изображения точки А, можно будет представить, как расположена точка в пространстве.

Наиболее простым и удобным является проецирование на взаимно перпендикулярные плоскости проекций с помощью проецирующих лучей, перпендикулярных плоскостям про­екций.

Такое проецирование называют ортогональным проецированием, а полученные изображения - ортогональными проекциями.

Проецирование (лат. Projicio – бросаю вперёд) – процесс получения изображения предмета (пространственного объекта) на какой-либо поверхности с помощью световых или зрительных лучей (лучей, условно соединяющих глаз наблюдателя с какой-либо точкой пространственного объекта), которые называются проецирующими.

Известны два метода проецирования: центральное и параллельное .

Центральное проецирование заключается в проведении через каждую точку (А, В, С ,…) изображаемого объекта и определённым образом выбранный центр проецирования (S ) прямой линии (SA , SB , >… — проецирующего луча ).

Рисунок 1.1 – Центральное проецирование

Введём следующие обозначения (Рисунок 1.1):

S – центр проецирования (глаз наблюдателя);

π 1 – плоскость проекций;

A, B, C

SA , SB – проецирующие прямые (проецирующие лучи).

Примечание : левой клавишей мыши можно переместить точку в горизонтальной плоскости, при щелчке на точке левой клавишей мыши, изменится направление перемещения и можно будет ее переместить по вертикали.

Центральной проекцией точки называется точка пересечения проецирующей прямой, проходящей через центр проецирования и объект проецирования (точку), с плоскостью проекций.

Свойство 1 . Каждой точке пространства соответствует единственная проекция, но каждой точке плоскости проекций соответствует множество точек пространства, лежащих на проецирующей прямой.

Докажем это утверждение.

На рисунке 1.1: точка А 1 – центральная проекция точки А на плоскости проекций π 1 . Но эту же проекцию могут иметь все точки, лежащие на проецирующей прямой. Возьмём на проецирующей прямой SA точку С . Центральная проекция точки С (С 1) на плоскости проекций π 1 совпадает с проекцией точки А (А 1):

1. С ∈ SA ;
2. SC ∩ π 1 =C 1 → C 1 ≡ A 1 .

Следует вывод, что по проекции точки нельзя судить однозначно о её положении в пространстве.

Чтобы устранить эту неопределенность, т.е. сделать чертеж обратимым , введём еще одну плоскость проекций (π 2) и ещё один центр проецирования (S 2) (Рисунок 1.2).

Рисунок 1.2 – Иллюстрация 1-го и 2-го свойств

Построим проекции точки А на плоскости проекций π 2 . Из всех точек пространства только точка А имеет своими проекциями А 1 на плоскость π 1 и А 2 на π 2 одновременно. Все другие точки лежащие на проецирующих лучах будут иметь хотя бы одну отличную проекцию от проекций точки А (например, точка В ).

Свойство 2 . Проекция прямой есть прямая.

Докажем данное свойство.

Соединим точки А и В между собой (Рисунок 1.2). Получим отрезок АВ , задающий прямую. Треугольник ΔSAB задает плоскость, обозначенную через σ. Известно, что две плоскости пересекаются по прямой: σ∩π 1 =А 1 В 1 , где А 1 В 1 – центральная проекция прямой, заданной отрезком АВ .

Метод центрального проецирования – это модель восприятия изображения глазом, применяется главным образом при выполнении перспективных изображений строительных объектов, интерьеров, а также в кинотехнике и оптике. Метод центрального проецирования не решает основной задачи, стоящей перед инженером – точно отразить форму, размеры предмета, соотношение размеров различных элементов.

1.2. Параллельное проецирование

Рассмотрим метод параллельного проецирования. Наложим три ограничения, которые позволят нам, пусть и в ущерб наглядности изображения, получить чертёж более удобным для использования его на практике:

1. Удалим оба центра проекции в бесконечность. Таким образом, добьемся того, что проецирующие лучи из каждого центра станут параллельными, а, следовательно, соотношение истинной длины любого отрезка прямой и длины его проекции будут зависеть только от угла наклона этого отрезка к плоскостям проекций и не зависят от положения центра проекций;
2. Зафиксируем направление проецирования относительно плоскостей проекций;
3. Расположим плоскости проекций перпендикулярно друг другу, что позволит легко переходить от изображения на плоскостях проекций к реальному объекту в пространстве.

Таким образом, наложив эти ограничения на метод центрального проецирования, мы пришли к его частному случаю – методу параллельного проецирования (Рисунок 1.3).Проецирование, при котором проецирующие лучи, проходящие через каждую точку объекта, параллельно выбранному направлению проецирования P , называется параллельным.

Рисунок 1.3 – Метод параллельного проецирования

Введём обозначения:

Р – направление проецирования;

π 1 – горизонтальная плоскость проекций;

A, B – объекты проецирования – точки;

А 1 и В 1 – проекции точек А и В на плоскость проекций π 1 .

Параллельной проекцией точки называется точка пересечения проецирующей прямой, параллельной заданному направлению проецирования Р , с плоскостью проекций π 1 .

Проведём через точки А и В проецирующие лучи, параллельные заданному направлению проецирования Р . Проецирующий луч проведённый через точку А пересечёт плоскость проекций π 1 в точке А 1 . Аналогично проецирующий луч, проведённый через точку В пересечет плоскость проекций в точке В 1 . Соединив точки А 1 и В 1 , получим отрезок А 1 В 1 – проекция отрезка АВ на плоскость π 1 .

1.3. Ортогональное проецирование. Метод Монжа

Если направление проецирования Р перпендикулярно плоскости проекций p 1 , то проецирование называется прямоугольным (Рисунок 1.4),или ортогональным (греч. ortos – прямой, gonia – угол), если Р не перпендикулярно π 1 , то проецирование называется косоугольным .

Четырехугольник АА 1 В 1 В задаёт плоскость γ, которая называется проецирующей, поскольку она перпендикулярна к плоскости π 1 (γ⊥π 1). В дальнейшем будем использовать только прямоугольное проецирование.

Рисунок 1.4 – Ортогональное проецирование Рисунок 1.5- Монж, Гаспар (1746-1818)

Основоположником ортогонального проецирования считается французский учёный Гаспар Монж (Рисунок 1.5).

До Монжа строители, художники и учёные обладали довольно значительными сведениями о проекционных способах, и, всё же, только Гаспар Монж является творцом начертательной геометрии как науки.

Гаспар Монж родился 9 мая 1746 года в небольшом городке Боне (Бургундия) на востоке Франции в семье местного торговца. Он был старшим из пяти детей, которым отец, несмотря на низкое происхождение и относительную бедность семьи, постарался обеспечить самое лучшее образование из доступного в то время для выходцев из незнатного сословия. Его второй сын, Луи, стал профессором математики и астрономии, младший — Жан также профессором математики, гидрографии и навигации. Гаспар Монж получил первоначальное образование в городской школе ордена ораторианцев. Окончив её в 1762 году лучшим учеником, он поступил в колледж г. Лиона, также принадлежавший ораторианцам. Вскоре Гаспару доверяют там преподавание физики. Летом 1764 года Монж составил замечательный по точности план родного города Бона. Необходимые при этом способы и приборы для измерения углов и вычерчивания линий были изобретены самим составителем.

Во время обучения в Лионе получил предложение вступить в орден и остаться преподавателем колледжа, однако, вместо этого, проявив большие способности к математике, черчению и рисованию, сумел поступить в Мезьерскую школу военных инженеров, но (из-за происхождения) только на вспомогательное унтер-офицерское отделение и без денежного содержания. Тем не менее, успехи в точных науках и оригинальное решение одной из важных задач фортификации (о размещении укреплений в зависимости от расположения артиллерии противника) позволили ему в 1769 году стать ассистентом (помощником преподавателя) математики, а затем и физики, причём уже с приличным жалованием в 1800 ливров в год.

В 1770 году в возрасте 24-х лет Монж занимает должность профессора одновременно по двум кафедрам — математики и физики, и, кроме того, ведёт занятия по резанию камней. Начав с задачи точной резки камней по заданным эскизам применительно к архитектуре и фортификации, Монж пришёл к созданию методов, обобщённых им впоследствии в новой науке – начертательной геометрии, творцом которой он по праву считается. Учитывая возможность применения методов начертательной геометрии в военных целях при строительстве укреплений, руководство Мезьерской школы не допускало открытой публикации вплоть до 1799 года, книга вышла под названием Начертательная геометрия (Géométrie descriptive ) (стенографическая запись этих лекций была сделана в 1795 году). Изложенный в ней подход к чтению лекций по этой науке и выполнению упражнений сохранился до наших дней. Еще один значительный труд Монжа – Приложение анализа к геометрии (L’application de l’analyse à la géometrie , 1795) – представляет собой учебник аналитической геометрии, в котором особый акцент делается на дифференциальных соотношениях.

В 1780 был избран членом Парижской академии наук, в 1794 стал директором Политехнической школы. В течение восьми месяцев занимал пост морского министра в правительстве Наполеона, заведовал пороховыми и пушечными заводами республики, сопровождал Наполеона в его экспедиции в Египет (1798–1801). Наполеон пожаловал ему титул графа, удостоил многих других отличий.

Метод изображения объектов по Монжу заключается в двух основных моментах:

1. Положение геометрического объекта в пространстве, в данном примере точки А , рассматривается относительно двух взаимно перпендикулярных плоскостей π 1 и π 2 (Рисунок 1.6).

Они условно разделяют пространство на четыре квадранта. Точка А расположена в первом квадранте. Декартова система координат послужила основой для проекций Монжа. Монж заменил понятие осей проекций на линию пересечения плоскостей проекций (координатные оси) и предложил совместить координатные плоскости в одну путем поворота их вокруг координатных осей.

Рисунок 1.6 – Модель построения проекций точки

π 1 – горизонтальная (первая) плоскость проекций

π 2 – фронтальная (вторая) плоскость проекций

π 1 ∩π 2 — ось проекций (обозначим π 2 /π 1)

Рассмотрим пример проецирования точки А на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций π 1 и π 2 .

Опустим из точки А перпендикуляры (проецирующие лучи) на плоскости π 1 и π 2 и отметим их основания, то есть точки пересечения этих перпендикуляров (проецирующих лучей) с плоскостями проекций. А 1 – горизонтальная (первая) проекция точки А; А 2 – фронтальная (вторая) проекция точки А; АА 1 и АА 2 – проецирующие прямые. Стрелки показывают направление проецирования на плоскости проекций π 1 и π 2 . Такая система позволяет однозначно определить положение точки относительно плоскостей проекций π 1 и π 2:

АА 1 ⊥π 1

А 2 А 0 ⊥π 2 /π 1 АА 1 = А 2 А 0 — расстояние от точки А до плоскости π 1

АА 2 ⊥π 2

А 1 А 0 ⊥π 2 /π 1 АА 2 = А 1 А 0 — расстояние от точки А до плоскости π 2

2. Совместим поворотом вокруг оси проекций π 2 /π 1 плоскости проекций в одну плоскость (π 1 с π 2), но так, чтобы изображения не накладывались друг на друга, (в направлении α, Рисунок 1.6), получим изображение, называемое прямоугольным чертежом (Рисунок 1.7):

Рисунок 1.7 – Ортогональный чертеж

Прямоугольный или ортогональный носит название эпюр Монжа .

Прямая А 2 А 1 называется линией проекционной связи , которая соединяет разноимённые проекции точки (А 2 — фронтальную и А 1 — горизонтальную) всегда перпендикулярна оси проекций (оси координат) А 2 А 1 ⊥π 2 /π 1 . На эпюре отрезки, обозначенные фигурными скобками, представляют собой:

• А 0 А 1 – расстояние от точки А до плоскости π 2 , соответствующее координате y А;
• А 0 А 2 – расстояние от точки А до плоскости π 1 , соответствующее координате z А.

1.4. Прямоугольные проекции точки. Свойства ортогонального чертежа

1. Две прямоугольные проекции точки лежат на одной линии проекционной связи, перпендикулярной к оси проекций.

2. Две прямоугольные проекции точки однозначно определяют её положение в пространстве относительно плоскостей проекций.

Убедимся в справедливости последнего утверждения, для чего повернём плоскость π 1 в исходное положение (когда π 1 ⊥π 2). Для того, чтобы построить точку А необходимо из точек А 1 и А 2 восстановить проецирующие лучи, а фактически – перпендикуляры к плоскостям π 1 и π 2 , соответственно. Точка пересечения этих перпендикуляров фиксирует в пространстве искомую точку А . Рассмотрим ортогональный чертеж точки А (Рисунок 1.8).

Рисунок 1.8 – Построение эпюра точки

Введём третью (профильную) плоскость проекций π 3 перпендикулярную π 1 и π 2 (задана осью проекций π 2 /π 3).

Расстояние от профильной проекции точки до вертикальной оси проекций А ‘ 0 A 3 позволяет определить расстояние от точки А до фронтальной плоскости проекций π 2 . Известно, что положение точки в пространстве можно зафиксировать относительно декартовой системы координат с помощью трёх чисел (координат) A (X A ; Y A ; Z A) или относительно плоскостей проекций с помощью её двух ортогональных проекций (A 1 =(X A ; Y A); A 2 =(X A ; Z A)). На ортогональном чертеже по двум проекциям точки можно определить три её координаты и, наоборот, по трём координатам точки, построить её проекции (Рисунок 1.9, а и б).

Рисунок 1.9 – Построение эпюра точки по её координатам

По расположению на эпюре проекций точки можно судить о её расположении в пространстве:

• А — А 1 лежит под осью координат X , а фронтальная — А 2 – над осью X , то можно говорить, что точка А принадлежит 1-му квадранту;
• если на эпюре горизонтальная проекция точки А — А 1 лежит над осью координат X , а фронтальная — А 2 – под осью X , то точка А принадлежит 3-му квадранту;
• А — А 1 и А 2 лежат над осью X , то точка А принадлежит 2-му квадранту;
• если на эпюре горизонтальная и фронтальная проекции точки А — А 1 и А 2 лежат под осью X , то точка А принадлежит 4-му квадранту;
• если на эпюре проекция точки совпадает с самой точкой, то значит – точка принадлежит плоскости проекций;
• точка, принадлежащая плоскости проекций или оси проекций (оси координат), называется точкой частного положения .

Для определения в каком квадранте пространства расположена точка, достаточно определить знак координат точки.

Зависимости квадранта положения точки и знаков координат

	X	Y	Z
I	+	+	+
II	+	—	+
III	+	—	—
IV	+	+	—

Упражнение

Построить ортогональные проекции точки с координатами А (60, 20, 40) и определить в каком квадранте расположена точка.

Решение задачи: по оси OX отложить значение координаты X A =60 , затем через эту точку на оси OX восстановить линию проекционной связи, перпендикулярную к OX , по которой вверх отложить значение координаты Z A =40 , а вниз – значение координаты Y A =20 (Рисунок 1.10). Все координаты положительные, значит точка расположена в I квадранте.

Рисунок 1.10 – Решение задачи

1.5. Задачи для самостоятельного решения

1. По эпюру определите положение точки относительно плоскостей проекций (Рисунок 1.11).

Рисунок 1.11

2. Достройте недостающие ортогональные проекции точек А , В , С на плоскости проекций π 1 , π 2 , π 3 (Рисунок 1.12).

Рисунок 1.12

3. Постройте проекции точки:

• Е , симметричной точке А относительно плоскости проекций π 1 ;
• F , симметричной точке В относительно плоскости проекций π 2 ;
• G , симметричной точке С относительно оси проекций π 2 /π 1 ;
• H , симметричной точке D относительно биссекторной плоскости второго и четвертого квадрантов.

4. Постройте ортогональные проекции точки К , расположенной во втором квадранте и удаленной от плоскостей проекций π 1 на 40 мм, от π 2 — на 15 мм.