Голландский художник Мориц Корнилис Эшер, родившийся в 1898 году в Леувардене создал уникальные и очаровательные работы, в которых использованы или показаны широкий круг математических идей.

Когда он учился в школе, родители планировали, что он станет архитектором, но плохое здоровье не позволило Морицу закончить образование, и он стал художником. До начала 50-х годов он не был широко известен, но после ряда выставок и статей в американских журналах (Time и др.) он получает мировую известность. Среди его восторженных поклонников были и математики, которые видели в его работах оригинальную визуальную интерпретацию некоторых математических законов. Это более интересно тем, что сам Эшер не имел специального математического образования.

В процессе своей работы он черпал идеи из математических статьей, в которых рассказывалось о мозаичном разбиении плоскости, проецировании трехмерных фигур на плоскость и неевклидовой геометрии, о чем будет рассказываться ниже. Он был очарован всевозможными парадоксами и в том числе "невозможными фигурами". Парадоксальные идеи Роджера Пенроуза были использованы во многих работах Эшера. Наиболее интересными для изучения идеями Эшера являются всевозможные разбиения плоскости и логика трехмерного пространства.

Мозаики

Регулярное разбиение плоскости, называемое "мозаикой" - это набор замкнутых фигур, которыми можно замостить плоскость без пересечений фигур и щелей между ними. Обычно в качестве фигуры для составления мозаики используют простые многоугольники, например, квадраты или прямоугольники. Но Эшер интересовался всеми видами мозаик - регулярными и нерегулярными (прим. перев. нерегулярные мозаики образуют неповоряющиеся узоры ) - а также ввел собственный вид, который назвал "метаморфозами", где фигуры изменяются и взаимодействуют друг с другом, а иногда изменяют и саму плоскость.

Интересоваться мозаиками Эшер начал в 1936 году во время путешествия по Испании. Он провел много времени в Альгамбре, зарисовывая арабские мозаики, и впоследствии сказал, что это было для него "богатейшим источником вдохновения". Позже в 1957 году в своем эссе о мозаиках Эшер написал:

В математических работах регулярное разбиение плоскости рассматривается теоретически... Значит ли это, что данный вопрос является сугубо математическим? Математики открыли дверь ведущую в другой мир, но сами войти в этот мир не решились. Их больше интересует путь, на котором стоит дверь, чем сад, лежащий за ней.

Математики доказали, что для регулярного разбиения плоскости подходят только три правильных многоугольника: треугольник, квадрат и шестиугольник. (Нерегулярных вариантов разбиения плоскости гораздо больше. В частности в мозаиках иногда используются нерегулярные мозаики, в основу которых положен правильный пятиугольник.) Эшер использовал базовые образцы мозаик, применяя к ним трансформации, которые в геометрии называются симметрией, отражение, смещение и др. Также он исказил базовые фигуры, превратив их в животных, птиц, ящериц и проч. Эти искаженные образцы мозаик имели трех-, четырех- и шестинаправленную симметрию, таким образом сохраняя свойство заполнения плоскости без перекрытий и щелей.

В гравюре "Рептилии" маленькие крокодилы играючи вырываются из тюрьмы двухмерного пространства стола, проходят кругом, чтобы снова превратиться в двухмерные фигуры. Мозаику рептилий Эшер использовал во многих своих работах. В "Эволюции 1" можно проследить развитие искажения квадратной мозаики в центральную фигуру из четырех ящериц.

Многогранники

Правильные геометрические тела - многогранники - имели особое очарование для Эшера. Во его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов. Существует лишь пять правильных многогранников, то есть таких тел, все грани которых состоят из однаковых правильных многоугольников. Они еще называются телами Платона. Это - тетраэдр, гранями которого являются четыре правильных треугольника, куб с шестью квадратными гранями, октаэдр, имеющий восемь треугольных граней, додекаэдр, гранями которого являются двенадцать правильных пятиугольников, и икосаэдр с двадцатью треугольными гранями. На гравюре "Четыре тела" Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.

Большое количество различных многогранников может быть получено объединением правильных многогранников, а также превращением многогранника в звезду. Для преобразования многогранника в звезду необходимо заменить каждую его грань пирамидой, основанием которой является грань многогранника. Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в работе "Порядок и хаос". В данном случае звездчатый многогранник помещен внутрь стеклянной сферы. Аскетичная красота этой конструкции контрастирует с беспорядочно разбросанным по столу мусором. Заметим также, что анализируя картину можно догадаться о природе источника света для всей композиции - это окно, которое отражается левой верхней части сферы.

Фигуры, полученные объединением правильных многогранников, можно встретить во многих работах Эшера. Наиболее интересной среди них является гравюра "Звезды", на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры. Таким образом нам необходимо отвлечься от привычного восприятия картины и попытаться взглянуть на нее свежим взором, чтобы представить ее целиком. Этот аспект данной картины является еще одним предметом восхищения математиков творчеством Эшера.

Форма пространства

Среди наиболее важных работ Эшера с математической точки зрения являются картины, оперирующие с природой самого пространства. Литография "Три пересекающиеся плоскости" - хороший пример для начала обзора таких картин. Этот пример демонстрирует интерес художника к размерности пространства и способность мозга распознавать трехмерные изображения на двухмерных рисунках. Как будет ниже, Эшер позже использовал данный принцип для создания изумительных визуальных эффектов.

Под влиянием рисунков в книге математика Х. Коксетера Эшер создал много иллюстраций гиперболического пространства. Один из примеров можно увидеть в работе "Предел круга III". Здесь представлен один из двух видов неевклидового пространства, описанных французским математиком Пуанкаре. Чтобы понять особенности этого пространства, представьте, что вы находитесь внутри самой картины. По мере вашего перемещения от центра круга к его границе ваш рост будет уменьшаться также, как уменьшаются рыбы на данной картине. Таким образом путь, который вам надо будет пройти до границы круга будет казаться вам бесконечным. На самом деле, находясь в таком простарнстве вы на первый взгляд не заметите ничего необычного в нем по сравнению с обычным евклидовым пространством. Например, чтобы достичь границ евклидового пространства вам также необходимо пройти бесконечный путь. Однако, если внимательно присмотреться, то можно будет заметить некоторые отличия, например, все подобные треугольники имеют в этом пространстве одинаковый размер, и вы не сможете там нарисовать фигуры с четырьмя прямыми углами, соединенными прямыми линиями, так как в этом пространстве не существует квадратов и прямоугольников. Странное место, не правда ли?

Еще более странное пространство показано в работе "Змеи". Здесь пространство уходит в бесконечность в обе стороны - и в сторону края окружности и в сторону центра окружности, что показано уменьшающимися кольцами. Если вы попадете в такое пространство, на что оно будет похоже?

Кроме особенностей евклидовой и неевклидовой геометрий Эшера интересовали визуальные аспекты топологии. Топология изучает свойства тел и поверхностей пространства, которые не изменяются при деформации, например, растяжении, сжатии или изгибе. Единственное, к чему не должна приводить деформация - это к разрыву. Топологам приходится изображать множество странных объектов. Одним из наиболее известных является лента Мебиуса, которая встречается во многих работах Эшера. Это может показаться странным, но у этой поверхности есть только одна сторона и одна кромка. Если вы проследите путь муравьев на литографии "Лента Мебиуса II", то увидите, что муравьи ползут не по противоположным поверхностям ленты, а по одной и той же. Сделать лист Мебиуса очень просто. Надо взять полоску бумаги, изогнуть ее, и склеить противоположные края ленты клеем. Как вы думаете, что случится, если разрезать лист Мебиуса вдоль?

Для понимания любой картины Эшера требуется внимание и наблюдательность, а эта работа требует особого внимания. Каким-то образом Эшер завернуть пространство в кольцо, и получилось, что мальчик находится одновременно внутри картины и вне ее. Секрет этого эффекта состоит в том, каким образом преобразовано изображение. Понять это можно, анализируя карандашный набросок сетки, которым пользовался Эшер при создании картины. Обратите внимание, что расстояние между линиями сетки увеличивается в направлении движения стрелки часов. Заметим еще, на чем основана хитрость картины - белое пятно в центре. Математики называют это пятно особым местом или особой точкой , где пространства не существует. Не существует способа изобразить этот участок картины без швов или наложений, поэтому Эшер решил эту проблему, поместив в центр картины свой автограф.

Логика пространства

Эшер понимал, что геометрия определяет логику пространства, но и логика пространства определяет геометрию. Одна из наиболее часто используемый особенностей логики пространства - игра света и тени на выпуклых и вогнутых объектах. На литографии "Куб с полосками" выступы на лентах являются визуальным ориентиром того, как расположены полоски в пространстве и как они переплетаются с кубом. И если вы верите своим глазам, то вы никогда не поверите тому, что нарисовано на этой картине.

Еще один из аспектов логики пространства - перспектива. На рисунках, в которых присутствует эффект перспективы, выделяют так называемые точки исчезновения, которые сообщают глазу человека о бесконечности пространства. Изучение особенностей перспективы началось еще во времена возрождения художниками Альберти, Дизаргом и многими другими. Их наблюдения и выводы легли в основу современной геометрии проекций.

Вводя дополнительные точки исчезновения и немного изменяя элементы композиции для достижения нужного эффекта, Эшер смог изобразить картины, в которых изменяется ориентация элементов в зависимости от того, как зритель смотрит на картину. На картине "Cверху и cнизу" художник разместил сразу пять точек исчезновения - по углам картины и в центре. В результате, если мы смотрим на нижнюю часть картины, то создается впечатление, что мы смотрим вверх. Если же обратить взгляд на верхнюю половину картину, то кажется, что мы смотрим вниз. Чтобы подчеркнуть этот эффект, Эшер изобразил два вида одной и той же композиции.

Третий тип картин с нарушенной логикой пространства - это "невозможные фигуры". Парадокс невозможных фигур основан на том, что наш мозг всегда пытается представить нарисованные на бумаге двухмерные рисунки как трехмерные. Эшер создал много работ, в которых обратился к этой аномалии. Наиболее интересная работа - литография "Водопад" - основана на фигуре невозможного треугольника, придуманного математиком Роджером Пенроузом. В этой работе два невозможных треугольника соединены в единую невозможную фигуру. Создается впечатление, что водопад является замкнутой системой, работающей по типу вечного двигателя, нарушая закон сохранения энергии. (Примечание. Обратите внимание на многогранники, установленные на башнях водопада.)

Самовоспроизведение и информация

Центральная идея самовоспроизведения, взятая на вооружение Эшером, обращается к загадке человеческого сознания и способности человеческого мозга обрабатывать информацию так, как не сможет обработать ни один компьютер. Литографии "Рисующие руки" и "Рыбы и чешуйки" используют эту идею разными способами. Самовоспроизведение является направленным действием. Руки рисуют друг друга, создавая самих себя. При этом сами руки и процесс их самовоспроизведения неразделимы. В работе "Рыбы и чешуйки" концепция самовоспроизведения представлена более функционально, и в данном случае она может быть названа самоподобием. В этом смысле данная работа описывает не только рыб, а все живые организмы, в том числе и человека. Конечно, мы не состоит из уменьшенных копий самих себя, но каждая клетка нашего тела несет в себе информацию обо всем теле в виде ДНК.

Углубляясь в изучение самовоспроизведения, можно его обнаружить в отражении и пересечении отражений реального мира. Такое пересечение встречается во многих картинах Эшера. Мы рассмотрим лишь один пример - литографию "Три сферы", на которой присутствуют три шаровидных тела, сделанных из разных материалов с различной отражающей способностью. Эти сферы отражают друг друга и художника, и комнату, в которой он работает, и лист бумаги, на котором он рисует сферы. Хофстадтер в своей книге написал "... каждая частица мира содержит в себе весь мир и содержится к во всех других частицах мира...".

Таким образом, мы заканчиваем тем же, с чего начали, - автопортретом художника - его отражением в своей работе.

Водовороты

Странно, но в оригинальной работе обошли вниманием целый класс фигур, которые достаточно часто встречаются в работах Эшера. Это закрученные в спирали фигуры. В работе "Спирали" мы видим четыре закручивающиеся в спираль полоски, которые постоянно сближаются и постепенно закручиваются сами в себя, образуя своеобразный тор. Пройдя целый круг, спираль заходит внутрь самой себя, образуя тем самым, как бы, спираль второго порядка - спираль в спирали.

В работе "Водовороты" Эшер объединил спиралевидную форму и свой излюбленный художественный прием - регулярное разбиение плоскости (или мозаику). Здесь рыбы,выплыв из одного водоворота, попадают во второй и, погружась в него, постепенно уменьшаются в размерах и наконец совсем исчезают. Обратите внимание на постепенно уменьшающуюся в размерах мозаику. Если мысленно развернуть спираль, то мы увидим лишь два ряда рыб, плывущих навстречу друг другу. Но скрученные в спираль и соответствующим образом деформированные образы рыб полностью покрывают некоторую область бесконечной плоскости.

Иной способ представления спирали использован в работе "Сферические спирали", где четыре полосы расположены на поверхности шара, проходя от одного полюса шара к другому. Похожий путь может пройти самолет, летящий с северного полюса земного шара на южный.

Здесь мы привели основные виды спиралей, использованных Эшером в своих работах. Различные их модификации можно обнаружить и на многих других литографиях художника.

Заключение 2

Использование Эшером различных математических фигур и законов не ограничивается лишь вышеприведенными примерами. Внимательно изучая его картины, можно обнаружить и другие, не упомянутые в данной статье, геометрические тела или визуальную интерпретацию математических законов.

Закончить хотелось бы картиной "Узлы", изображающей замкнутые фигуры, которые нельзя отнести к какому-либо разделу данной статьи.

Влад Алексеев.

Ма́уриц Корне́лис Э́шер (нидерл. Maurits Cornelis Escher ([ˈmʌu̯rɪts kɔrˈneːlɪs ˈɛʃər̥]); 17 июня 1898(18980617), Леуварден, Нидерланды - 27 марта 1972, Хилверсюм, Нидерланды) - нидерландский художник-график. Известен прежде всего своими концептуальными литографиями , гравюрами на дереве и металле, в которых он мастерски исследовал пластические аспекты понятий бесконечности и симметрии, а также особенности психологического восприятия сложных трёхмерных объектов, самый яркий представитель имп-арта.

Мауриц Эшер (уменьшительное нидерл. Mauk - «Маук») родился 17 июня 1898 года в городе Леуварден, административном центре нидерландской провинции Фрисландия, в семье инженера. Его родителями были Джордж Арнольд Эшер (George Arnold Escher) и Сара Адриана Глейхман-Эшер (Sarah Adriana Gleichman-Escher, вторая жена Джорджа, дочь министра), Мауриц был их младшим сыном (у него было четыре старших брата, Беренд и Эдмонд от первого брака отца, Арнолд и Ян от второго). Семья жила во дворце «Princessehof», в XVIII веке принадлежавшем Марии Луизе Гессен-Кассельской, матери и регентше статхаудера Вильгельма IV. Сейчас в этом дворце открыт музей керамики, во дворе которого стоит стела с изразцами, выполненными Эшером.

В 1903 году семья переехала в Арнем, где с 1907 года мальчик некоторое время учился столярному делу и музыке, в возрасте семи лет он год провёл в детской больнице в приморском городе Зандворт для улучшения слабого здоровья. С 1912 по 1918 год Мауриц учился в средней школе. Хотя с раннего возраста он проявлял способности к рисованию, его успехи в школе были весьма посредственными (в числе прочего, он провалил экзамен и по рисованию). В 1916 году Эшер выполняет свою первую линогравюру, портрет своего отца Дж. А. Эшера.

В 1917 году семья Эшеров переехала в Остербек (пригород Арнема). В то время Эшер и его друзья на протяжении нескольких лет увлекались литературой, Мауриц писал стихи и эссе. Он не смог сдать четыре выпускных экзамена и из-за этого не смог получить аттестата зрелости. Несмотря на отсутствие аттестата, из-за ошибки в голландском законодательстве он смог добиться отсрочки от службы в армии для продолжения учёбы и в 1918 году стал брать уроки архитектуры в Техническом училище Делфта. Из-за плохого здоровья Эшер не справился с учёбой и был отчислен, но в 1919 году всё же поступил в Школу архитектуры и декоративных искусств в Харлеме, которую закончил в 1922 году. Там его учителем был художник Самуэль де Мескита, оказавший на молодого человека огромное влияние. Эшер поддерживал дружеские отношения с Мескитой вплоть до 1944 года, когда Мескита, еврей по происхождению, 1 февраля был вместе с семьёй арестован и отправлен нацистами в Освенцим. Почти сразу после прибытия (предположительно, 11 февраля) Мескита и его жена были умерщвлены в газовой камере. После гибели учителя Эшер помог отправить его работы в амстердамский музей «Стеделейк», оставив у себя лишь один эскиз со следом немецкого сапога, а в 1946 году он организовал в упомянутом музее мемориальную выставку.

Эшер совершенно сознательно выбрал карьеру гравёра, а не художника (маслом). По мнению исследователя его творчества Ханса Лохера, Эшера привлекала возможность получения множества оттисков, которую предоставляли графические техники, так как его уже в раннем возрасте интересовала возможность повторения образов.

В 1921 году Эшер с семьёй посетил Северную Италию и Французскую Ривьеру. Он впервые побывал за границей и получил возможность познакомиться с искусством итальянского Возрождения, которое произвело на него сильнейшее впечатление. Он рисует оливковые деревья, начинает эксперименты со сферами, зеркалами. Его гравюры иллюстрируют юмористический буклет его друга, Ада ван Столка Flor de Pascua («Пасхальный цветок»), вышедший в октябре в Нидерландах. Первой печатной работой, проданной большим тиражом, была «Святой Франциск» (проповедь птицам). Уже в этой книге начинают появляться мотивы, характерные для позднего творчества Эшера, как, например, искажение пространства в его автопортрете в сферическом зеркале.

Это часть статьи Википедии, используемая под лицензией CC-BY-SA. Полный текст статьи здесь →

«Полюбите эту красотку
и она непременно ответит вам взаимностью»

Слова эти принадлежат моему институтскому преподавателю высшей математики Нине Константиновне Артмеладзе.. Видимо желая пробудить интерес предмету говорила она их нам, своим нерадивым студентам, имея ввиду эту самую математику. Сказать что мы тогда понимали реальный смыл этих слов не могу однако то, что математика может доставлять истинное удовольствие можно было по ней самой, сидя и наблюдая как экспрессивно, увлеченно и темпераментно она вела нам свой предмет. Вероятно, Нины Констаниновны уже давно нет в живых, однако ту сухонькую старушку лет 70-ти с горящими не по годам глазами, я помню до сих пор, и это, одно из многих других ее ярких изречений, которое вывела в эпиграф, вспомнила совсем недавно…после посещения выставки Маурица Корнелиуса Эшера….

Итак Эшер. Сказать по правде имя это хоть и было мне знакомо, не говорило практически ни о чем. Собралась идти на выставку больше за компанию и даже подумать не могла, что придется прикладывать усилие чтоб оттуда уйти...К некоторым его работам я возвращаюсь и по сей день и все, о чем пойдет мой рассказ ниже, узнала спустя время… …
Интерес Эшера к рисунку был отчасти делом случая. Родители маленького мальчика, далеко не бедные люди, мечтая видеть в сыне архитектора отдают его в частную школу, где среди прочих предметов он занимался рисованием.

Ничего явно выдающегося и выделяющего его среди сверстников им в то время создано не было, однако его учителем был художник Самуэль де Мескита , оказавший на молодого человека огромное влияние. Эшер поддерживал дружеские отношения с Мескитой на протяжении всей жизни последнего. Здоровье не позволило Эшеру получить архитектурное образование, его семья поселяется на юге Италии. Он был очарован природой и красотой здешних мест.

Любимым занятием становятся пешие многочасовые прогулки во время которых делаются зарисовки.

По наставлению учителя, Эшер уделяет гравюрам особое внимание.

Здесь, в Италии, он проявляет интерес к перспективе трехмерного пространства в рисунке, обращает внимание на математическую точность схождения линий, для придания видимости перспективы. Особенно вдохновляла его в этом смысле Флоренция, где он посетил галерею Уффици, знакомясь с мастерством живописи древних мастеров. Произведения Микеланджело, работы Леонардо да Винчи привлекали пристальное внимание Эшера. Со временем, уже будучи женатым человеком, он поселяется в вечном городе. Это может показаться странным, но днем он не видит в Риме ничего для себя интересного. И совсем другое дело ночь…

Долгие часы он проводил в соборе Св. Петра работы великого Микеланджело. Здесь он пытался осмыслить глубину архитектурного пространства. Так постепенно зарождается его увлечение зрительными парадоксами. То, что было скрыто для большинства постепенно открывалось Эшеру благодаря его тонкой наблюдательности, и, думаю, именно это качество стало залогом успеха многих его картин.

Эшер был человеком замкнутым даже с родными. Иногда он черпал вдохновение в своих снах.

При всей кажущейся любви к уединению Эшер любил путешествовать. Путешествуя из Испании в Италию на грузовом судне VERDI Эшер посещает Сицилию и Мальту.

Был и такой этап в жизни Эшера, когда ему удалось убедить одну из итальянских круизных компаний «Адрия» взять его с супругой пассажирами на борт корабля, в ответ он обязался изображать корабли и гавани, в которые те заходили, для рекламных буклетов компании.

На удивление Эшера его предложение было принято. Среди множества городов, которые он посетил, Сенглеа на Мальте приглянулся ему особенно. Здесь, на острове с богатой историей, родились многие его зарисовки и замыслы. Одна из известных- «Балкон» , где Эшер впервые применяет эффект лупы, с помощью которого можно разглядеть цветок на балконе на отдаленном расстоянии.

Этот прием можно будет рассмотреть и в других его работах.

Математические открытия вдохновляли Эшера на создание некоторых картин. Однако его искусство, в свою очередь, являлось притягательным для математиков. Они признавали его математический дар. Предметом восхищения было то, как ему, человеку далекому от математики, удавалось отобразить суть математических задач. Его картины разбирали и обсуждали на математических симпозиумах и конгрессах. «Когда я увидел впервые его гравюру , я лишился дара речи» - вспоминает математик и физик Роджер Пенроуз, «у него был явно математический талант зрительно изображать свою интуицию на листе бумаги».

Эшер был человеком интересующимся всем необычным. если его что то сильно увлекало, он старался докопаться до сути явления и мастерски делал это в своих работах, изображая рукой художника то, как он это себе представлял.
Так работы Эйнштейна вдохновили Эшера на создание гравюры «Относительность» . Посмотрите как меняется картинка, если на нее смотреть под разными углами. Три силы тяжести направлены перпендикулярно одна другой. Три объекта прорезают друг друга под прямым углом и каждый населен людьми.

Обитатели соседних маленьких миров не могут ходить, сидеть или стоять на одном и том же полу поскольку у них разные представления о горизонтали и вертикали. Однако они могут пользоваться одной и той же лестницей. Мы видим, как наверху два человека идут рядом по лестничным ступенькам как будто в одном направлении, тем не менее один движется вверх, а другой вниз. Контакт между ними невозможен, т.к. они живут в разных мирах и не подозревают о существовании друг друга. В литографии одна и та же картина представлена дважды, но рассматриваем ее с двух разных точек.

Верхняя часть - вид, который откроется наблюдателю, если он поднимется тремя этажами выше, нижняя- то, что он увидит стоя на земле,т.е. на площадке выложенной плитками. Подняв голову наверх, он увидит тот же самый плиточный пол, повторенный как потолок в центре композиции, однако он в тоже время служит полом верхней сцены. Вверху плиточный потолок повторяется, на этот раз как настоящий потолок. Эшер все чаще обращается к теме так называемых «невозможных пространств». Его привлекают зрительные парадоксы.Одна из ранних работ в этом направлении -. Она иллюстрирует библейский миф о трудностях перевода и невозможности коммуникаций.

Фигура невозможного треугольника, придуманного математиком Роджером Пенорузом , мы можем наблюдать в картине . Здесь два невозможных треугольника соединены в невозможную фигуру, создается впечатление, что вода снизу поднимается наверх, по типу вечного двигателя, а разноэтажные башенки смотрятся почти вровень.

Статья английского математика Роджера Пенроуза о невозможных фигурах была опубликована в британском журнале психологии в 1958 году «ожила» в картине Эшера « Спускаясь и поднимаясь» . Сама иллюзия для обывателя вряд ли будет заметна, скорей вы отметите здесь некий визуальный абсурд: монахи неизвестного ордена совершают нескончаемую прогулку про круговой галерее на крыше своего монастыря, те кто идет во внешнем ряду все время взбираются вверх, а те, кто шествует во внутреннем ряду, постоянно спускаются вниз.

Как такое может быть? Для математиков картина представляла колоссальный интерес наглядностью решаемых ими задач.

Ничего удивительного, но и психологи свою очередь находили в картинах Эшера нечто для себя интересное. - вот прекрасный пример того, как одно и тоже изображение или явление может восприниматься по-разному, т.е. наглядно изображен принцип двоякости нашего сознания в зависимости от того, на чем концентрировать внимание...

Фигура (в центре картины) или, если хотите, «проблема» может быть «плоской» т.е. не выделяющейся и мало значимой на общем фоне и посмотрите что с ней происходит если концентрироваться на чем то одном, это «одно» выходит на первый план становится «объемным» т.е. захватывает нас целиком…Здесь же у нас есть выбор, на чем концентрироваться, на черном или на белом, и это тоже зависит от конкретного человека, от его настроя на восприятие мира.... Картина в некоторых источниках называется «Оптимист и пессимист» и это наиболее точно, как мне кажется, обозначает суть рисунка…
Еще одна из известных работ Эшера -. Здесь мне видится схожий эффект. Плоская и ничем не привлекающая картинка, может "ожить" если на ней сосредоточится. Рептилии путешествуют из мозайки в реальную жизнь и обратно транзитом через учебник зоологии.

Эмоциональное наполнение произведений Эшера уникально. Почти каждую его работу, мне хотелось охарактеризовать как «пограничное искусство». Пограничное по исполнению, по восприятию и по ощущению которое она оставляет.. Погранично оно и в том, как мастерски переплелись в его работах архитектура, математика, психология и даже биология. Говорят, что постощущения и эмоции от картин Эшера сродни эмоциям математиков. Недаром они видели в нем «родственную душу».
Юг Испании и в частности Альгамбра, оставляет свой след в творчестве Эшера. Дворцы Альгамбры и великолепное мавританское искусство пробуждают в нем интерес к симметрии. Принцип симметрии, который так любили математики, теперь захватывает и Эшера. Различные симметричные построения, путем заполнения плоскости тождественными фигурами становится темой многочисленных его работ.

Пиком этого увлечения, как мне кажется, являются его многочисленные метаморфозы.

От них вообще нереально оторваться...насколько это просто по идее и совершенно непостижимо по исполнению…

Правильные многогранники и многоугольники имели особое очарование для Эшера. Но часто они встречаются лишь в качестве вспомогательных элементов. На литографии «Хаос и порядок» изображен малый звездчатый додекаэдр, один из четырех многогранников Кеплера-Пуансо а вокруг предметы выброшенные за ненадобностью…

На гравюре «Звезды» мы видим объединение тетраэдров, кубов и октаэдров и для сложности восприятия всей этой и без того громоздкой фигуры, Эшер поместил внутрь хамелеонов.

Чтобы представить картину целиком нам надо отвлечься от привычного восприятия...
Невозможный куб можно встретить в картине Ребра куба скрещиваются самым невероятным образом, оно невозможно в трехмерном пространстве

Бесконечные мозайки наглядно демонстрировали любовь Эшера к геометрии. Элементы начертательной, проективной геометрии явно просматриваются в его рисунках.

В тоже время в его мозайке биологи видят с молекулярные модели, с их тождественностью вирусных соединений сфер и многогранников, а кристаллографы находят в них нечто близкое себе, связанное с описание идеальных кристаллов. С тремление Эшера создать на плоскости иллюзии трехмерного пространства, которого на самом деле нет, создание искусственной перспективы и зрительной головоломкой привлекало и привлекает по сей день … Его любимая тема - бесконечность…Она была у него внутренней(плоской)

внешней(объемной) -«Предел круга»

циклической - …

Однако пикового эффекта тема бесконечности достигла в его «Выставке гравюр» Самая непостижимая, самая загадочная из его картин, явилась воплощением тайны, она многими считается шедевром….

Художник пытался создать в ней эффект бесконечности, который наблюдал в парикмахерских при наведении зеркал и одновременно использовал уже известный свой прием-«картинка в картинке». Подобная «анфилада» картинок называется «эффектом Дросте» по названию голландской марки какао Droste которая впервые использовала этот эффект в своей рекламе.

Помимо этого, в своей картине он пытается исказить пространство по типу бутылки Клейна , чтобы создать эффект постоянного движения. Эшер решил замкнуть две плоскости в единое целое. Человек на переднем плане любуется гравюрой, висящей в галерее, в которой изображен он сам…Он видит себя, смотрящего на себя, смотрящего на себя, смотрящего на себя….и так до бесконечности…это явление находится на грани возможного, его трудно охватить глазом, но оно очень понятно математикам и Эшер этот эффект четко представлял. Он создал галерею, в которой череда картин является зрительным противовесом череде зданий, но замкнуть рисунок по периметру невозможно не исказив его и не выйдя за рамки …Картина словно представляла дефект, а пустой центр только разжигал любопытство многих. …Одни видели в ней т.н. поверхность Римана - абстрактную поверхность с отверстием внутри, другие основу концепции инь и янь, а третьи - черную дыру.
Работой Эшера заинтересовался голландский математик Хендрик Ленстра . Анализируя «Выставку гравюр», он, как математик, решил «закончить незаконченное», но для этого попытался разложить деформированную решетку кручения т.н решетку Эшера пошагово …

В этой решетке Эшер помимо кручения сохранил квадраты канвы … «Решетка основана на повторяемости - дает пояснение математик- деформированный квадрат будет выглядеть квадратом только в том случае, если углы его будут равны 90 град, но эффект этот достигается еще и за счет вращения вокруг оси» . Ленстра объясняет то, что изобразил Эшер в своей гравюре, сложно воспринимать человеческим глазом, поскольку изображение и при повторении изменяет свои размеры в 256 раз, но очень просто понять математику. Понять можно, но изобразить математику это оказалось не под силу и на помощь пришли мощные компьютеры. Рисунок оказалось возможным развернуть и тогда пустой центр принял форму спирали, берущей начало в центре литографии и идущей до ее рамки… Но решение заключалось не только в этом, а еще и в бесконечной мозайке Эшера с соблюдением двойной симметрии, со смещением оси…. Рисунок оказался выполнен как на карандашной стружке, которая заворачивается при точении и как если бы мы эту стружку распрямили…Но математик задался еще одним вопросом- «случайно ли Эшер применил кручение вправо? » Команда Ленстра попыталась «раскрутить рисунок» в обоих направлениях и тут открылась тайна во всей эшеровской красе- «рисунок в рисунке» . Думаешь что можешь разглядеть центр, но уходишь все «глубже» и так до бесконечности....к тому же проблема заполнения центра, тождественная заполнению пространства вокруг изображения- т.е. она невозможна…Интуиция Эшера пришла к этому безо всяких компьютеров и математических исследований не позволила ему заполнить центр оставив его незаполненным. Здесь нужен был механизм более совершенный чем карандаш…Мы же можем погрузится в рисунок с помощью компьютера.

Гениальному Эшеру удалось ближе всего наглядно подобраться к бесконечности. Когда он пришел к выводу, что рисунок не может быть закончен, он поставил в центре свою монограмму. «Ничего более странного я в жизни не делал » - пишет Эшер своему сыну по завершению работы.. И здесь он приходит к выводу-«возможно это и есть искривленное пространство, о котором говорил Эйнштейн» .

По материалам статьи Геометрия Эшера

фильма «Мауриц Эшер. Закончить незаконченное»

многочисленных статей из сети….

Настроение сейчас - Отличное!

Голландский художник Морис Корнелиус Эшер (Maurits Cornelis Escher) родился 17 июня 1898 года в Леевардене, административном центре голландской провинции Фрисландия. Он был третьим сыном инженера Г. А. Эшера и его второй жены, дочери министра. В доме, котором родился Эшер, сейчас находится музей керамики, во дворе которого стоит стела с изразцами, выполненными Эшером.

В 1903 году семья Г.А. Эшера переезжает в город Арнем, административный центр голландской провинции Гелдерланд.

С 1907 года Морис учится плотницкому делу и игре на пианино. В 1912-1918 годах он обучается в средней школе. Оценки по всем предметам у Мориса были плохими за исключением рисования. Учитель рисования заметил талант у мальчика и научил его делать гравюры по дереву. В 1913 году Эшер в школе религии знакомится с парнем, по имени Бас Кист (он пошел туда по стопам родителей, хотя никогда не был особенно религиозен), который станет его лучшим другом. Оба интересовались технологией печати. В 1916 году Эшер выполняет свою первую графическую работу, гравюру на фиолетовом линолеуме - портрет своего отца Г. А. Эшера.

После ряда неудачных попыток получить какое-то образование, Эшер все-таки закончил Школу архитектуры и декоративных искусств в Харлеме.

Там его учителем был художник Самуэль де Мескита, оказавший на молодого человека огромное влияние.

Эшер совершенно сознательно выбрал карьеру гравёра, а не художника (маслом). По мнению исследователя его творчества Ханса Лохера, Эшера привлекала возможность получения множества оттисков, которую предоставляли графические техники, так как его уже в раннем возрасте интересовала возможность повторения образов.

В 1921 году семья Эшера посетила Ривьеру и Италию. Очарованный растительностью и цветами средиземноморского климата, Морис сделал детальные рисунки кактусов и оливковых деревьев. Он зарисовал много эскизов горных пейзажей, которые позже легли в основу его работ.Эшер начинает экспериментировать в новом для себя направлении и его гравюры по дереву издаются в юмористическом буклете "Easter Flowers", уже тогда в его работах встречаются зеркальные отображения, кристаллические фигуры и сферы. Первая печатная работа Эшера, продавшаяся большим тиражом, была "Святой Франциск (проповедь птицам)". Уже в этой книге начинают появляться мотивы, харакретные для позднего творчества Эшера, как, например, искажение пространства в его автопортрете в сферическом зеркале.

В поисках новых идей Морис Эшер снова решает отправиться в Италию. После небольшого путешествия по Италии, он несколько месяцев проводит в Сиене. В это время он очень интенсивно работает, в чем помогла "благословенная", по его же словам, атмосфера города.

В марте 1923 года Эшер продолжает работать и путешествовать. В конце месяца в пансион, где остановился Морис, приезжает семья швейцарского промышленника Умикера. Через несколько месяцев Эшер рисует портрет дочери - Джетты Умикер. Немного позже он понял, что влюблен, но не был уверен в ответных чувствах. В самый последний момент, когда Умикеры собрались уезжать, он решился признаться в любви и молодые были помолвлены.

В августе 1923 года в Сиене состоялась первая персональная выставка Мориса Эшера, но он уделил этому поворотному для любого художника событию совсем мало внимания. Он был увлечен Джеттой и в середине августа сделал ей предложение, а 28 августа прибыл в Цюрих для формальной встречи с семьей. Морис решил жениться и жить в Италии.

1924 год был очень насыщеным на события. В феврале прошла его персональная выставка в Голландии. 12 июня состоялась его свадьба в Виареджи в Италии. Молодожены посетили Геную, Аннеки и Брюссель. В октябре они отправлились во Францию, а затем вернулись в Италию. В путешествии Эшер изучал различные архитектурные стили Европы. В конце 1924 года молодожены купили строящийся дом в городке Фраскати недалеко от Рима. И хотя строительство дома было закончено в марте 1925 года, они поселились там только в октябре.

Чуть позже переезда в новый дом происходит несчастный случай с братом Мориса, который занимался альпинизмом. Брат погиб и Эшер отправился на опознание тела. После этой трагедии он создал знаменитую гравюру по дереву "Дни творения" (Days of Creation).

В июне 1926 года Эшер покупает новый строящийся дом больших размеров, чем предыдущий, в связи с прибавлением в семье. В конце июля рождился Джордж Эшер. О растущей известности Мориса Эшера говорит тот факт, что на крестинах сына присутствовали король Эммануэль и Муссолини.

Счастливая жизнь с женой и ребенком в Риме в конце двадцатых годов оказалась очень плодотворным периодом для Мориса. Его работы демонстрировались на многих выставках Голландии, а к 1929 году его популярность достигла такого уровня, что за один год прошли пять персональных выставок в Голландии и Швейцарии. Именно в этот период картины Эшера впервые были названы механическими и "логическими". На картинах изображались горные ландшафты, но встречались и коммерческие иллюстрации. Самая известная картина того периода - гравюра горной деревушки Кастровальвы, законченная в феврале 1930 года. Тогда же в 1930 году родился второй сын - Артур.

В конце 1930 и в 1931 году Морис много болеет и в работе происходит перерыв. Такие перерывы периодически возникают в течение всей жизни художника. Этот перерыв закончился его встречей в Риме с директором Голландского Исторического Института Г. Дж. Хугеверфом, который предложил написать статью о творчестве Эшера и опубликовать в ней несколько его работ. Отобранные работы издаются в виде книги Emblemata в 1932 году. В конце 1933 года Эшер пишет несколько литографий для книги ужасов The Terrible Adventures of Scholastica.

В 1934 году Морис Эшер получил третью премию за картину "Нонза, Корсика" (Nonza) на выставке в Чикаго. Институт искусств в Чикаго купил эту картину. Это была первая картина, проданная в Америке.

Летом 1935 года Эшер по делам прибывает в Гаагу в дом к родителям. Во время визита Эшер делает одно важное дело - рисует детальный портрет отца. Гравюра была закончена в августе и отпечатана только для членов семьи.

В августе 1935 года Морис с семьей переезжает в новый дом в Шато д"Э в Швейцарии. Джетта возобновляет свои занятия на пианино, а Эшер поступает в местный шахматный клуб. Дети наслаждаются снегом. В декабре Морис делает литографию фермерского дома на заснеженном склоне горы, но разочаровывается результатом. Его сын Джордж позже скажет, что отец тосковал по теплу Италии.

В начале 1936 года Эшер решает отправиться обратно в южную Европу. Он обращается в корабельные компании с предложением сделать картины кораблей и портов, обслуживаемых компаниями, в обмен на бесплатное путешествие. К его удивлению компания "Адрия" согласилась на его предложение, и в апреле Эшер отправляется в Триест, где в офисе "Адрии" был встречен с большим уважением и учтивостью.

На кораблях компании Эшер посещает Венецию, Анкону, Бари, Катанию, Палермо, Геную и несколько других итальянских и сицилийских городов. Джетта присоединяется к нему в середине мая. Во время путешествия Эшер делает большое количество зарисовок. В итоге были сделаны девять гравюр по дереву. Это было последнее большое путешествие по любимой Морисом средиземноморской Италии.

В июне после возвращения из путешествия по Средиземному морю семья Эшера посещает несколько швейцарских озер, а затем отправляется в Гаагу к родителям. Путешествие было очень удачным, и это было удачное завершение первой фазы карьеры художника. 1 сентября Эшеры возвращаются домой в Шато д"Э, и графические работы Эшера начинают постепенно приобретать другое направление.

К концу 1936 года Эшер заканчивает большинство гравюр для компании "Адрия". Также на основе эскизов путешествия он создает свою первую картину невозможной реальности Still Life with Street.

Тогда же в 1936 году он вторично посещает Альгамбру для детального изучения мавританских мозаик. Эта поездка и переселение из Италии усиливают изменения в творчестве художника.

В середине 1937 года семья Эшера снова переезжает на новое место жительства, на этот раз в Уккель - пригород Брюсселя. В октябре Эшер показывает своему брату Биру картину-мозаику, над которой он в тот момент работал. Бир, профессор геологии, был впечатлен работой и увидел в ней возможности применения идей Эшера в кристаллографии.

1937 год стал переломным для творчества Эшера. В этот год он переходит от пейзажей к произведениям, изображающим сложные геометрические конструкции.

В 1938 году Эшер продолжает эксперименты с мозаиками и трансформациями. Он создает мозаику в виде двух птиц, летящих навстречу друг другу, которая легла в основу картины "День и ночь".

Несколькими месяцами позже Эшер начал работу над одной из самых важных своих картин. В 1937 году он создал гравюру "Метаморфозы", где показано, как один из блоков города превращается в человека.

На новой картине "Метаморфозы-2" представлена последовательность 10 трансформаций. Это самая большая картина Эшера размерами 19 см на 3.9 м.

14 июня 1939 года в Гааге умер отец Мориса Эшера.
В мае 1940 года нацисты оккупируют Голландию и Бельгию, а 17 мая в зону оккупации попадает и Брюссель. В конце мая умирает мать Эшера. Из-за военных действий Морис опаздывает на ее похороны. Конец 1940 года уходит у Мориса на то, чтобы завершить дела матери, а также на оформление ратуши в Лейдене. Он и Джетта находят дом в Барне (Голландия) и переезжают туда в феврале 1941 года. До конца своих дней Эшер будет жить в этом городе.

1 февраля 1944 нацисты, преследовавшие евреев, арестовывают учителя Эшера - Самюэля де Месквита. Больше его никто не видел. Эшер помогает переправить работы де Месквита в амстердамский музей "Стеделик". Он оставляет у себя лишь один эскиз де Месквита, на котором остался отпечаток немецкого сапога. Этот эскиз Эшер хранит до конца своих дней. После войны в 1946 году Эшер устраивает мемориальную выставку, посвященную творчеству де Месквита в музее "Стеделик".

В 1946 году Эшер начинает интересоваться технологией глубокой печати. И хотя эта технология была намного сложнее той, которой пользовался Эшер до этого и требовала больше времени для создания картины, но результаты были впечатляющими - тонкие линии и точная передача теней. Одна из самых известный работ в технике глубокой печати "Капля росы" была закончена в 1948 году.

В 1949 году Эшер с двумя другими художниками устраивает большую выставку своих картин. В дополнение к выставке художники рассказывают и демонстрируют свою технику создания изображений. В ходе выставки были проданы некоторые работы Мориса Эшера, включая одну из огромных "Метаморфоз".

После публикации статей в двух журналах Эшер приобретает известность в Америке. Корреспондент журнала The Studio Израэль Шенкер берет интервью у художника в его доме в Барне. Интервью было сделано в конце 1950 года и опубликовано в начале 1951 года в журнале Time, а позже в журнале Life.

Эшер иногда создает модели некоторых объектов для своих картин из глины, дерева, проволоки и других материалов. Например, как рассказывает Джордж Эшер, при работе над знаменитой картиной "Рептилии" 1943 года, где маленькие крокодилы выползают из мозаики, проходят по книгам на столе и опять превращаются в мозаику, он вылепил фигурку крокодила из пластилина и располагал ее последовательно на столе среди других предметов, чтобы нарисовать всю картину.

Также с использованием моделей создавалась картина "Дом лестниц", законченная в 1951 году.

В 1950-х годах Эшер набирает большую популярность в качестве публичного лектора, а в 1950 году в Вашингтоне проходит первая его персональная выставка в США. После этого резко увеличиваются продажи его произведений в США.

27 апреля 1955 года королева Вильгельмина производит Эшера в рыцари (пятая степень, рыцарь ордена Оранье-Нассау).

В 1956-57 годах художник заканчивает несколько своих самых известных работ, включая "Три мира". В это время продается большое количество его работ. Например, он получил чек от Вашингтонского дилера на сумму 2125 долларов за 150 его отпечатков. На сегодняшний день это не такая уж большая сумма (сегодня одна работа Эшера того времени стоит больше), но художник был благодарен и за это.

В 1957 году художнику заказывают фреску в Утрехте, работа над ней продолжалась почти весь 1958 год. В октябре 1958 года Джордж Эшер заканчивает университет и эмигрирует в Канаду.

В середине 50-х годов Эшер объединяет мозаику с фигурами, уходящими в бесконечность. Начав использовать этот прием в работе "Меньше и меньше", он продолжил его в картине "Водовороты" и так далее до своей последней работы "Змеи".

До 1958 года Морис Эшер изображает объекты, уменьшающиеся по мере приближения к центру картины, а после 1958 года он изображает фигуры, уменьшающиеся по мере удаления от центра картины. Причем смена направления связана с изучением Эшером статьи профессора Коксетера из Оттавы, который проиллюстрировал систему образцов, уменьшающихся по мере удаления от центра. Интерпретация эффекта Коксетера наблюдается как минимум в шести работах Мориса Эшера.

В 1959 году Эшер встречается с профессором МакГиллаври, после этого художник выступает на международном конгрессе кристаллографии в Англии на тему симметрии. Также в 1959 году он получил копию статьи Лайонела и Роджера Пенроузов о невозможных фигурах. В статье упоминались некоторые ранние работы Эшера, но также было и кое-что новое. Картина "Восхождение и спуск" (1960) основана на знаменитой лестнице Пенроузов.

В начале 60-х годов вышла в свет первая книга с работами Эшера Grafiek en Tekeningen, в которой 76 работ прокомментировал сам автор. Книга помогла обрести понимание среди математиков и кристаллографов, включая некоторых из России и Канады. В августе 1960 Эшер прочитал лекцию по кристаллографии в Кембридже.

Математические и кристаллографические аспекты творчества Эшера становятся очень популярными. В 1965 году профессор Каролина МакГиллаври опубликовала книгу "Аспекты симметрии в творчестве М. К. Эшера".

В 1964 году Эшер снова отправляется в Америку, чтобы повидать сына и прочитать несколько лекций. Но он неожиданно заболел и после операции в Торонто они с женой вернулись в Голландию. Лекции, которые были полностью написаны Эшером, были изданы спустя 20 лет в книге "Эшер об Эшере".

Жена Эшера никогда не была счастлива в Барне и в 1968 году вернулась в Швейцарию, где и провела остаток жизни. Эшер остался в Барне и погрузился в работу. И, хотя здоровье его ухудшалось, он продолжал создавать гравюры по дереву.

В 1970 году после новой серии операций Эшер переехал в новый дом в Ларене (Нидерланды), в котором была студия, но плохое здоровье не давало возможности много работать. Он продолжает переписываться со многими друзьями по всему миру, включая школьного друга Баса Киста. Была издана исчерпывающая книга о жизни и творчестве художника. Эшер прожил достаточно долго, чтобы увидеть книгу "Мир М. К. Эшера" (The World of M. K. Escher) переведенную на английский язык и остался ею очень доволен.

Последняя работа, законченная Эшером - "Змеи".

В марте 1972 года самочувствие художника сильно ухудшилось. Вся семья собралась возле постели больного. 27 марта в возрасте 73 лет Морис Эшер скончался.

Есть ли у науки и искусства общие точки пересечения? Может ли один из этих миров дополнять и обогащать открытиями другой? Великие творцы эпохи Возрождения в данной постановке вопроса даже не увидели бы противоречия. Для них способы познания мира и самовыражения не делились так жестко, как для нас. Произведения нидерландского художника-графика Маурица (Мориса) Эшера обычно производят на людей гипнотическое действие, потому что размывают в нашем сознании жесткие границы между логичным и невозможным, между постоянным и изменяющимся.

На самом деле, каждая из картин является научно-художественным исследованием закономерностей пространства и особенностей нашего восприятия. Специалисты рассматривают его творчество в контексте теории относительности и психоанализа. Но можно и просто отвлечься на несколько минут и погрузиться в мир, где четкая логика, царящая внутри рисунка, вдруг оказывается искаженной относительно нашего мира.

Законы симметрии

Картинами, знаковыми для Эшера, можно считать литографии, напоминающие мавританские мозаики. Кстати, художник признавался, что эта тема была навеяна посещением замка Альгамбра. Заполнение плоскости тождественными фигурами можно было бы считать детской забавой высокого художественного уровня, если не одна деталь: с математической точки зрения в данных рисунках выполняются определенные виды симметрии (в каждом - свой). Кстати, именно такие же, как в кристаллических решетках. Поэтому работы Мориса Эшера рекомендованы в качестве иллюстраций при изучении кристаллографии.

Метаморфозы

Эта интересная тема практически вытекает из предыдущих рисунков. Присмотритесь: похожие мотивы, но на смену четкой упорядоченности приходят постепенные изменения – от черного к белому, от маленького к большому, от птицы к рыбе… и от плоскости к объему!

Логика пространства

Почему мы любим фокусы? Потому что они, безопасно для нашей психики, на несколько секунд дают почувствовать присутствие волшебства. То есть, мы фиксируем нарушение закономерностей нашего мира, но тут же с облегчением понимаем, что нас просто мастерски надули, и значит мир на месте. С картинами Эшера, в которых художник исследовал закономерности пространства, происходит примерно то же самое. На первый взгляд – красивые картины, на второй и третий – «нас где-то провели, надо понять, где именно»… и зависаем надолго, пытаясь понять, «как же так?».

Самовоспроизведение информации

«Рисующие руки» - одна из наиболее известных картин Эшера. Считают, что на ее идею художника натолкнул набросок к «Портрету Джиневры де Бенчи» Леонардо да Винчи. Кстати, этот рисунок вовсе не является абсолютно симметричным, как это может показаться на первый взгляд.

Сам Морис Эшер писал о своем творчестве: «Хотя я абсолютно несведущ в точных науках, мне иногда кажется, что я ближе к математикам, чем к моим коллегам-художникам». На самом деле, ученые мужи отдают должное этому мастеру графики, ведь в его работах можно найти иллюстрации к темам «Мозаичное разбиение плоскости», «Неевклидова геометрия», «Проецирование трехмерных фигур на плоскость», «Невозможные фигуры» и многим другим. Кроме того, Эшер почти на 20 лет опередил математиков в работе с фракталами, теоретическое описание которых было дано лишь в 1970-е годы, а картины с использованием этой математической модели художник создавал гораздо раньше.

Сюрреалистические акварели, созданные испанским художником Борхе Санчесом,